二座標系の片側からみたローカル座標の取得

初めて質問させて頂きます。
無作法等ありましたらご容赦下さい。
ワールド座標に二点a,bが有るとします。
a,b,それぞれにx,y,zのローカル座標系を持っているとして
aのローカル座標(ベクトル)におけるbの座標及び角度の取得方法が知りたいです。
角度はオイラー角でもクオタニオンでも良いです。
ワールド座標での相互関係なら色々サイトに載っているのですが、それぞれのローカルからした時の関係が良く分かりませんでした。
どなたかご教示頂けたら幸いです。
宜しくお願い致します

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回答2件

ベストアンサー

aのワールド座標が(ax, ay, az)、bのワールド座標が(bx, by, bz)、ワールド座標原点をoとして

ワールド空間からaローカル空間への変換をTa、ワールド空間からbローカル空間への変換をTbとすると

求めたいaローカル座標系におけるbの位置を(x, y, z)とすると

という関係なので、変形して

となるのではないでしょうか。つまり、(bx, by, bz)をTaの逆変換（aローカル空間からワールド空間への変換）で変換してやれば、a座標系から見たbの位置が得られるかと思います。

bの角度についてですが、これは得られたbの位置を極座標に変換してやればいいのではないでしょうか。軸の取り方や角度の基準・正負の向きによって多少の違いはあるでしょうが、三次元極座標についての基本的な知識 | 高校数学の美しい物語のように換算できるかと思います。

それとも、必要なのはbローカル空間のaローカル空間に対する相対回転...aから突き出したx、y、z軸をどのように回転させればbから突き出したx、y、z軸に重ねることができるか、という意味でしょうか?
でしたら、bローカル空間のaローカル空間に対する相対変換

から回転成分を抽出して、オイラー角やクォータニオンを作ることになるかと思います。
回転行列からのクォータニオン作成の例としては、回転行列から回転クォータニオンの算出 ( プログラム ) - Color Model：色をプログラムするブログ - Yahoo!ブログやMaths - Conversion Matrix to Quaternion - Martin Bakerなどがご参考になりそうです。