オーダー記法の定義について

Question

x→+∞の場合の

∃c>0;∃x0>0;∀x;x≥x0⇒|f(x)|≤c|g(x)|
についてですが
このxとx０の意味がよくわかりません。
xを無限大まで近付けて|f(x)|≤c|g(x)|となるCをみつければいいのはわかるのですが
xとx0の違いが判りません。

Answer 1

口に出して読んでみるとわかりやすいかもしれません。

ある正の値 c と、ある正の値 x0 が存在して、どんな x についても x ≥ x0 ならば |f(x)| ≤ c|g(x)| となる。

x0 は境界線の値で、それより小さい値については不等号を満たさない x があっても極限には関係なく、 x が十分大きな範囲について常に不等号が成り立てば良い、ということです。
つまり、このような x0 も見つける必要があります。

Comments

[BitCoin]

もし証明問題を解く場合g(x)∊f(x)を証明しようと思ったらｘ０とCを求めるということでしょうか？

[swordone]

g(x)∈f(x)の意味があまりよくわかりませんが…

[mather]

「∈」はそういうときに使えませんね。どのような証明問題を解くのかは知りませんが、具体的なCとx0を与えると上記の不等式が常に成り立つことを示せばよいはずです。

それにしても、これアルゴリズムの問題じゃなくて大学の課題か何かじゃないですか？
このサービスで話す話題ではない気がします。
ということでこれ以上は自分で考えて下さい。

Answer 2

xをcとx0で書いた時に、条件式が常に満たされるようにするのです。

xとx0の違いは、xは集合であるのに対して、x0は一つの数字であることです。
もちろん、条件を満たすx0の集合は存在するが、今の場合、そのうちの最小のものがx0となります。