fetch()とjQueryの$.ajax()のセッションの挙動が異なる理由を教えて頂きたいです。

hoge/a.htmlからhoge/b.htmlに遷移する際にidの情報を渡すためにJavaScriptからAjaxを使ってPHPでセッションを使って渡そうと処理を書いたのですが、その際に$.ajax()を使うとセッションは切れないのですがfetch()を使うと切れてしまいます。
どうすればfetch()でも$.ajax()のようにセッションを切らさないように出来るのでしょうか。

こちらはfetchで書いたjavascriptコードです

JavaScript
1const setSession = async (id) => {
2    const resp = await fetch("php/setSession.php", {
3        method: 'POST',
4        body: `id=${id}`,
5        headers: new Headers({
6            'Content-type': 'application/x-www-form-urlencoded'
7        })
8    });
9    const json = await resp.json();
10    console.log(json.sessionId);
11}
12const getSession = async () => {
13    const resp = await fetch("php/getSession.php");
14    const json = await resp.json();
15    console.log(json.sessionId);
16    console.log(json.id);
17}

次は$.ajaxで書いたjavascriptコードです

javascript
1const setSession = (id) => {
2    $.ajax({
3        url: "php/setSession.php",
4        type: "POST",
5        data: {
6            "id" : id
7        },
8        dataType: "json"
9    })
10    .done(json => {
11        console.log(json.sessionId);
12    });
13}
14
15
16const getSession = () => {
17        $.ajax({
18            url: "php/getSession.php",
19            type: "POST",
20            dataType: "json",
21        })
22        .done(json => {
23            console.log(json.sessionId);
24            console.log(json.id);    
25        });
26}

いずれのパターンもsetSession()はhoge/a.htmlから呼び出し、getSessionはhoge/b.htmlから呼び出しますが、前者はsessionIdは一致せず、後者はsessionIdが一致します。

以下は呼び出されるphpです。

php
1<?php
2session_start();
3
4function setSession(){    
5    $result = array('sessionId' => null);
6    if(isset($_POST['id'])){
7        $id = $_POST['id'];
8        $_SESSION['id'] = $id;
9        session_write_close();
10        $result['sessionId'] = session_id();
11    }
12    return json_encode($result);
13}
14echo setSession();
15?>

php
1<?php
2session_start();
3  
4function getSession(){
5    $result = array('id' => null, 'sessionId' => null);
6    $result['sessionId'] = session_id();
7    if(isset($_SESSION['id'])){
8        $result['id'] =  $_SESSION['id'];
9    }
10    return json_encode($result);
11}
12
13echo getSession();
14
15?>