Pythonでフーリエ変換をする方法

Question

前提・実現したいこと

Pythonでデジタル信号のフーリエ変換に試みています。

発生している問題・エラーメッセージ

https://org-technology.com/posts/smoother.html
↑こちらに示されているサンプルを元に自分のデータで解析しようと考えているのですが、「周波数スケール」や「データ数」を自分のデータの場合、どのように置き換えればよいのかわからないでいます…。
また、フーリエ変換をする際に
yf = fftpack.fft(y)/(n/2)
で、なぜn/2で割るのかがよくわかりません。
y2 = np.real(fftpack.ifft(yf2)*n)
では逆変換では逆にnをかけているのも少し疑問です。

ちなみに一般的な数学や物理の参考書には目を通しており、基本的なフーリエ変換の原理は理解しているつもりです。

該当のソースコード

import os
import time
import numpy as np
from scipy.stats import norm
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

os.chdir(r"C:\Users\genuine\Desktop\earth science\20180217~misasa\20180224b")
files = os.listdir(r"C:\Users\genuine\Desktop\earth science\20180217~misasa\20180224b")

t1 = time.time()

dat_list = []
for file in files:
    if file.count('.dat'):
        dat_list.append(file)

ampl_list = []
for file in dat_list:
    data = np.loadtxt(file, delimiter=' ')
    x_value = data[:,0] #1列目を横軸とする
    y_value = data[:,1] #2列目を縦軸とする
    yh_value = signal.hilbert(y_value)
    count = abs(yh_value)

    sum = 0
    for i in count[12000:13600]:
        sum = sum + i
    mean = sum/1600
    ampl_list.append(mean)

x_axis = np.arange(800, 900.1, 0.2)
y_axis = np.array(ampl_list)
plt.plot(x_axis, y_axis, marker="", linewidth=0.2, color='black')
plt.show()

np.save('ampl_list.npy', y_axis) #.npyで保存する

t2 = time.time()
proceeding_time = t2 - t1
print('処理時間'+str(proceeding_time))

試したこと

ここに問題に対して試したことを記載してください。

補足情報（FW/ツールのバージョンなど）

x_axis = np.arange(800, 900.1, 0.2)
からお分かりかと思いますが、私が解析を試みているのは501個のデータ点からなるグラフのフーリエ変換です。

python 3.6.1
numpy 1.12.1
scipy 0.19.0
matplotlib 2.0.2

Answer 1

yf = fftpack.fft(y)/(n/2)
で、なぜn/2で割るのかがよくわかりません。

n/2のうちのnはデータ点数で、同じ区間でも解像度が高くなるほど積分値が大きくなってしまうことへの補正です。2は折り返し信号の分をサボったためです。fftshiftを使ったとすれば、正の周波数の負の周波数ではx=0のy軸に対して対称になっていると思います。もう少し細かく見ると、cos項(複素フーリエ係数の実数部分)は正負で同じ値なのに対して、sin項(複素フーリエ係数の虚数部分)は符号が反転していると思います。

少し脱線しましたが、本来ならば同じ周波数の振幅成分が正負に分かれて存在したはずのところを、参考にしている記事では正の部分しか扱っていません。コレ自体はよく行われることです。ただし、本来ならばデータ点数nで割っておけばいいだけのところを、負の周波数成分が無視しているために振幅が合わなくなってしまいます。この点を考慮してnではなくn/2で割っているのです。

y2 = np.real(fftpack.ifft(yf2)*n)
では逆変換では逆にnをかけているのも少し疑問です。

これは元の記事の次の操作が原因です。

yf2[(freq > fs)] = 0
yf2[(freq < 0)] = 0

折り返し信号の分を残さないと行けないところを、カットオフ周波数以上のところを全て0にしてしまっています。これでは元の振幅成分のうちの半分しか復元されないため、n/2を掛けて補正するところを、(n/2)*2=nを掛けているわけです。

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さて、本来やりたかったことですが、カットオフ周波数を決めなければ行けません。そのためにはサンプリング周波数もしくはサンプリング間隔が必要です。それがわかればfftfreqを使えば、その周波数がどこにあるか分かるはずです。

Comments

[genuine]

ありがとうございます。
とりあえず、いただいたアドバイスを元にやってみようと思います。

[tachikoma]

ほいさ。上手くいかなかったらまた遠慮なく聞いてください。