ニュートン法でx^2-2=0を解くアルゴリズム

Question

ニュートン法でx^2-2=0を解くアルゴリズムを作成しております。

下記のコードを実行した場合、1回目の誤差の表示はうまくいくのですが、2回目のWhile文の判定で
エラーが起きます。

引数には2を渡しています。

import java.math.BigDecimal;

public class kinjiti {
	public static void main(String args[]) {
		BigDecimal x = new BigDecimal(args[0]);
		BigDecimal delta = new BigDecimal(1);
		BigDecimal sisu = new BigDecimal(1.0E-16);
		BigDecimal j = new BigDecimal(2);
		int count = 0;
		while (sisu.compareTo(delta) < 0) {
		 x = x.subtract((x.multiply(x).subtract(j)).divide((j.multiply(x))));
		 delta = x.multiply(x).subtract(j).abs();
		 ++count;
		 System.out.println(count + "回目 誤差=" + delta);
		}
		System.out.println("x = " + x);
		System.out.println("x * x = " + x.multiply(x));
	}
}

【コンソール表示内容（エラー内容）】
1回目 誤差=0.25
Exception in thread "main" java.lang.ArithmeticException: Non-terminating decimal expansion; no exact representable decimal result.
at java.base/java.math.BigDecimal.divide(BigDecimal.java:1716)
at Newton1.main(Newton1.java:12)

どうして1回目は計算できているのに2回目でエラーが起きるのかわかりません。

ご教示お願いいたします。

【追記】
上記のとおりプログラムを修正したところ、2の平方根が正しく出力されました。

【コンソール】
1回目 誤差=0.2500
2回目 誤差=0.00703889
3回目 誤差=0.0000061592637476
4回目 誤差=4.74200288533215216656E-12
5回目 誤差=2.8108239331373466350562834003132792751609E-24
6回目 誤差=9.8759139788721286232385069031337583760272284804383992169099233938623991426116900E-49
7回目 誤差=1.219170961476023987580884253005982643084857060464517172599001310224667466278282886591601613436503357212794231959984165464850947330556127739804351086766287896576E-97
x = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764161583921656050189505811755022976
x * x = 2.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001219170961476023987580884253005982643084857060464517172599001310224667466278282886591601613436503357212794231959984165464850947330556127739804351086766287896576

しかし、ソースの[x][j]に引数3.0を指定すると、誤差の表示がループします。
コンソールに誤差が7回ほど出力され、「x = 1.3720508......」と出力される想定でした。

Answer 1

こんにちは
(ほかの方の回答にありますが)BigDecimalではdevideの時計算結果が循環小数の場合,
エラーが出るため,丸める必要があります。(四捨五入や切り上げなど)
私は,四捨五入で計算しましたが
https://java-reference.com/java_number_round.htmlを参考に自分のお好きなものを使って
いろいろ試してみてください.
以下　ソースコードとなります。

import java.math.BigDecimal;

public static void main(String args[]) {

        BigDecimal x = new BigDecimal("2.0");
        BigDecimal delta = new BigDecimal("1.0");
        BigDecimal sisu = new BigDecimal("1.0E-16");
        BigDecimal j = new BigDecimal("2.0");
        int count = 0;
        while (sisu.compareTo(delta) < 0) {
            BigDecimal a = (x.multiply(x).subtract(j)).divide(x.multiply(j),BigDecimal.ROUND_HALF_UP);
            x = x.subtract(a);
            delta = (x.multiply(x).subtract(j)).abs();
            count++;
         System.out.println(count + "回目 誤差=" + delta);
        }
        System.out.println("x = " + x);
        System.out.println("x * x = " + x.multiply(x));
    }
}

(追記)
aの平方根を求めるときのソースとなります。(入力)

import java.util.Scanner;
import java.math.BigDecimal;

public class Sum {

    public static void main(String[] args) {
        
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        String line = sc.nextLine();
        Double n = Double.parseDouble(line);
        BigDecimal a = new BigDecimal(n); //√aを求めたい
        BigDecimal x = new BigDecimal("2.0");
        BigDecimal delta = new BigDecimal("1.0");
        BigDecimal sisu = new BigDecimal("1.0E-16");

        int count = 0;
        while (sisu.compareTo(delta) < 0) {
            BigDecimal f = x.multiply(x).subtract(a);
            BigDecimal df = x.multiply(new BigDecimal("2.0")); 
            x = x.subtract(f.divide((df),BigDecimal.ROUND_HALF_UP));
            delta = (x.multiply(x).subtract(a)).abs();
            count++;
         System.out.println(count + "回目 誤差=" + delta);
        }
        System.out.println("x = " + x);
        System.out.println("x * x = " + x.multiply(x));
    }
     
  
}

Comments

[Watanabe_ef]

回答ありがとうございます。
回答のとおりに丸めたところ、エラーはなくなりました。ありがとうございます。
当初の質問とは変わってしまい申し訳ないのですが、追加で質問です。
今回は引数に「2」を渡しており、結果も正常に出力されました。
引数に「3」を渡した場合、3の平方根の値がコンソールに出力される想定なのですが、
うまく出力されません。（編集で追記しておきます）
お時間がありましたら、回答いただけますと幸いです。よろしくお願いします。

[退会済みユーザー]

aの平方根の値を求めるためにaを入力する必要があります
上の回答に追記したのでそちらをご覧ください。
あとソースを書いていく途中　気づいたのですが
値が2である変数jを分子　分母　両方に入れています。
２の平方根を求める場合だけたまたま同じで
一般的には違うので変数を分ける必要があると思います。
改良したソースでは分けています。(正確に言うと2のところは変数にしてません...)
(一般の時(x ^ 2 - a) / (2 * x)　で
a = 2の時だけ　分子　分母　両方に2が使われているという意味です。)

[Watanabe_ef]

回答ありがとうございます。
勘違いをしておりました。2でたまたま通っていただけでしたね…。
追記のソース確認いたしました。想定通りの結果が出ました。
本当にありがとうございました。

[退会済みユーザー]

私もニュートン法について深めることができてよかったです!!

Answer 2

これですかね。BigDecimal.divide() 使用時の注意

BigDecimalクラスの割り算を行うdivide()メソッドにて、計算結果が循環小数になる場合

java.lang.ArithmeticException: Non-terminating decimal expansion; no exact representable decimal result.
が発生するので注意が必要。

ただし、丸め方はRoundingModeを用いて指定した方が良いかと。
Qiita -【Java】BigDecimalをちゃんと使う2018

また、定数はfinal指定した方が読みやすいですよ。

コメントを受けて

しかし、ソースの[x][j]に引数3.0を指定すると、誤差の表示がループします。

x = x.subtract((x.multiply(x).subtract(j)).divide((j.multiply(x))));
『指数の2』と『定数項の-2』では絶対値は同じでも役割が全く異なります。
数値が同じだからと言って、双方を同じjにしていることが問題です。

書いてみた

なんとなく無理矢理感の漂うコードではありますが。

import java.math.BigDecimal;
import java.math.RoundingMode;

class Newton {
    //
    static final BigDecimal epsilon = BigDecimal.valueOf(1.E-16);
    static boolean isNearlyZero(BigDecimal num) {
        return epsilon.compareTo(num.abs()) > 0;
    }

    //
    final BigDecimal n;
    BigDecimal func(BigDecimal x) {
        // x^2 - n
        return x.pow(2).subtract(n);
    }
    static BigDecimal devFunc(BigDecimal x) {
        // 2x
        return BigDecimal.valueOf(2).multiply(x);
    }

    //
    Newton(int n) {
        this.n = BigDecimal.valueOf(n);

        BigDecimal x     = BigDecimal.valueOf(2.);
        BigDecimal delta = BigDecimal.valueOf(1.);

        for(int count = 1; !isNearlyZero(delta); ++count) {
            // x <- x - f(x) / f'(x)
            x = x.subtract(
                func(x).divide(devFunc(x), RoundingMode.HALF_UP)
            );
            delta = func(x);

            System.out.println(count + "回目 誤差=" + delta);
        }

        System.out.println("x = " + x);
        System.out.println("x * x = " + x.pow(2));
    }

    public static void main(String[] args) {
        try {
            new Newton(Integer.parseInt(args[0]));
        }
        catch(ArrayIndexOutOfBoundsException | NumberFormatException e) {
            System.err.println("USAGE: java Newton n");
            System.err.println("to compute sqrt(n)");
        }
    }
}

Comments

[Watanabe_ef]

回答ありがとうございました。
数値を丸めることで、エラーは解消されました。

追記がありますので、お時間が許せばそちらの方にも回答していただけると幸いです。

[LouiS0616]

そのまま適用したら導関数がプログラム上で3xになりませんか？
変数jをどこで用いるべきか再考した方が良いかと。

[Watanabe_ef]

回答ありがとうございました。
大変な勘違いをしていました。変数を２で実行していたからたまたま通っていたんですね・・・。
参考にさせていただきます！ありがとうございました！

[退会済みユーザー]

私もニュートン法について深めることができてよかったです!!