デフォルトは固定ページにカテゴリーは無いので何らかの方法で設定してるのだと思いますが、カスタマイズしている場合その詳細も質問に書いた方がいいです。
親ページがあれば、その親ページが属するカテゴリーを設定しますが、後からそのページが親ページになるような状況があっても考慮していません。
カテゴリーと書かれてますが怪しいのでタクソノミーの場合の記述もしてありますので適宜修正してください。
function auto_set_page_categories( $post_id, $post, $update ) {
global $post_type;
if( $post->post_status !== 'auto-draft' && $post_type === 'page' && $post->post_parent !=='0' ) {
//$parent_cats = get_term_by( $post->post_parent ); // カテゴリーの場合
//$parent_cats = get_the_terms( $post->post_parent, 'タクソノミー名'); // タクソノミーの場合
$cat_ids = wp_list_pluck( $parent_cats, 'term_id' );
//wp_set_post_categories( $post_id, $cat_ids, false ); // カテゴリーの場合
//wp_set_post_terms( $post_id, $cat_ids, 'タクソノミー名', false ); // タクソノミーの場合
}
}
add_filter( 'save_post', 'auto_set_page_categories', 10, 3 );