おおよその手順としては、以下のような感じでしょうか。
最初に DNS を切り替えると 設定中の新しいホストにアクセスが来るので、完全にセットアップしてから DNS を切り替えるのが良いと思います。
WordPress のデータ移行プラグインを使う場合などは、手順が若干変わるかもしれません。
1.旧サーバのデータをバックアップ
2.VPS に OS や Web サーバ等をインストールする。
3.自分のパソコンの host ファイルの最後に下記を追加して、新サーバに接続できるようにする。
4.Webブラウザで、ドメイン名を入力して、新しいVPS に接続する。
5.必要な設定を行う。
6.旧サーバのデータをインポート
7.Webサイトが完成したら 最後に DNSサーバの設定を変更する。
8.nslookup コマンドで、DNSが、切り替わっているか確認する。
(nslookup ドメイン名
で、新しい IP アドレスが表示されたら OK です。)
※DNSの切り替えは、早ければ 1〜2時間程度で変わりますが、場合によっては 1日ぐらいかかります。
9.hosts ファイルに追加した1行を削除する。
もし、GMOクラウド > ドメイン/DNSサーバー関連 > ゾーン情報変更について の「ゾーン情報変更の設定例の図」の内容とすると DNS のゾーン情報の登録内容で、変更が必要なのは、以下の2行です。
ホスト名: www タイプ: A
ホスト名: @ タイプ: A
の 値 に さくらの VPS の IP アドレスを記載します。
ホスト名: mail のタイプ: A やタイプ: MX の 値:「mail.ドメイン」は、変更してはダメです。(メールが届かなくなります。)
もし、GMOクラウド > ドメイン/DNSサーバー関連 > ゾーン情報変更について の「ゾーン情報変更の設定例の図」ように MX が、2行あったら 値が、「mail.ドメイン名」を残して、「ドメイン名」だけの行は、削除してください。(ドメイン名の IPアドレスを さくらのVPSに切り替えるため。)
DNS周りがわからないようであれば、補足しますので、現在のDNS設定を ドメイン名を example.com に置き換えて、IPアドレスを 10.x.x.x のように 適当なプライベートIPアドレスに置き換えて、質問に追記してください。